기대효용 이론

문제와 계보

동전 던지기처럼 결과와 확률을 아는 선택을 복권이라고 하자. 한 복권은 확실한 50원을 주고, 다른 복권은 절반의 확률로 100원과 0원을 준다. 둘의 기대금액은 같지만 사람은 둘을 똑같이 평가하지 않을 수 있다. 돈이 두 배가 됐을 때 만족도까지 두 배가 된다는 보장이 없기 때문이다.

핵심 주장

기대효용 이론은 결과의 돈을 그대로 평균내지 않는다. 각 결과 xᵢ에 그 사람이 부여하는 효용 u(xᵢ)를 놓고, 확률 pᵢ로 가중해 Σpᵢu(xᵢ)를 계산한다. 효용함수가 오목하면 돈이 늘수록 추가 효용은 작아지고, 같은 기대금액을 가진 두 선택에서도 확실한 쪽을 고르는 위험회피를 표현할 수 있다. 위험회피는 손실을 이득보다 더 싫어한다는 손실회피와 다른 성질이다.

폰 노이만과 모르겐슈테른이 1944년 초판에서 제시한 정리는 아무 선호나 이 식으로 나타낼 수 있다고 말하지 않는다. 선택자가 대안을 비교할 수 있고, 선호가 순환하지 않으며, 극단 사이의 확률 혼합을 일관되게 다룬다는 공리가 먼저 필요하다. 독립성 공리는 두 복권에 같은 세 번째 복권을 같은 비율로 섞어도 원래의 선호 순서가 바뀌지 않아야 한다고 요구한다. 공리를 만족하면 선호는 기대효용의 극대화로 표현된다.

대표 과제 또는 형식

알레는 1953년에 독립성 공리가 실제 선택에서 자주 깨지는 복권 쌍을 제시했다. 사람들은 한 비교에서는 확실한 보상을 택하면서, 공통 결과를 지운 다른 비교에서는 더 큰 보상의 확률을 택하는 경향을 보였다. 두 선택을 함께 놓으면 같은 공통 성분을 더하거나 뺀 뒤에도 선호가 유지돼야 한다는 독립성과 맞지 않는다. 이것이 알레 역설이다.

논쟁과 한계

알레 역설은 표현 정리를 수학적으로 반증하지 않는다. 공리를 만족하는 선호가 어떤 형식을 갖는다는 정리는 그대로 남는다. 대신 실제 사람이 언제 그 공리를 따르지 않는지, 기대효용을 규범적 기준과 기술 모형 가운데 어디에 둘지를 묻게 했다. 제한된 합리성은 실제 선택자가 이 공리를 계산하고 따를 수 있는 조건을 묻고, 프레이밍 효과는 같은 결과의 표현이 선호를 바꾸는 조건을 드러낸다. 전망 이론은 그 틈에서 출발한다.